☛ Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs

 Énoncé

Soit \(\mathrm{ABCD}\) le tétraèdre ci-dessous.

Soit  \(\mathrm{K}\) le milieu du segment \(\mathrm{[AD]}\) et \(\mathrm{L}\) un point du segment \(\mathrm{[BC]}\) .
Les segments \(\mathrm{[DB]}\) et \(\mathrm{[DC]}\) sont régulièrement gradués.

1. Exprimer \(\mathrm{\overrightarrow{DL}}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{DB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{DC}}\) .

2. En déduire une expression de \(\mathrm{\overrightarrow{KL}}\) comme combinaison linéaire des vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) , \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) .

Solution

1.  \(\mathrm{\overrightarrow{DL}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\dfrac34\overrightarrow{DC}}\) .

2. D'après la relation de Chasles, on a : \(\mathrm{\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DL}}\) .
En utilisant le résultat de la question précédente et puisque \(\mathrm{K}\) le milieu du segment \(\mathrm{[AD]}\) , on a : \(\mathrm{\overrightarrow{KL} =\dfrac12\overrightarrow{AD}+\bigg(\dfrac14\overrightarrow{DB}+\dfrac34\overrightarrow{DC}}\bigg)\) . 
D'après la relation de Chasles, on a : \(\mathrm{\overrightarrow{KL} =\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac14\overrightarrow{DA}+\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{DA}+\dfrac34\overrightarrow{AC}}\) .
Conclusion : \(\mathrm{\overrightarrow{KL} =-\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac14\overrightarrow{AB}+\dfrac34\overrightarrow{AC}}\) .